GRATIS UW SUDOKU ONLINE OPLOSSEN!

GRATIS UW SUDOKU ONLINE OPLOSSEN!

De wiskunde achter de Sudoku

Een complete, ingevulde Sudoku, is een speciale variant van een Latijns vierkant. Een Latijns vierkant is een vierkant van n bij n met n symbolen waarbij elk symbool exact 1 keer voorkomt per rij en kolom. Dit is dus ook het geval bij een Sudoku, alleen heeft een Sudoku nog iets extra’s, namelijk dat de drie bij drie hokjes ook unieke cijfers moeten hebben.

latijns vierkant

(een voorbeeld van een Latijns vierkant)


Dat een Latijns vierkant en een Sudoku met elkaar te maken is bekend dankzij Denis Berthier, hij schreef een boek genaamd The Hidden Logic of Sudoku in 2007. Het aantal verschillende latijnse vierkanten van negen bij negen is 5.524.751.496.156.892.842.531.225.600 (ongeveer 5,5 × 1027). Dit is al in 1975 berekend! Het berekenen van het aantal verschillende Sudoku’s is een grotere klus. Dit is twee jaar geleden toch gelukt door Felgenhauer en Jarvis. Het aantal verschillende complete, goede Sudoku’s is 6.670.903.752.021.072.936.960. Het aantal Sudoku puzzels (dus geen compleet Sudoku veld, maar enkele begin cijfers) is nog onbekend, het is wel een feit dat dit aantal nog veel en veel meer is.

Bij het aantal van 6.670.903.752.021.072.936.960 verschillende Sudoku velden, zijn de dubbele Sudoku’s ook meegeteld. Een voorbeeld van een dubbele Sudoku is als je bijvoorbeeld alle 9s met de 7s verwisseld, het is dan een andere kloppende Sudoku oplossing. Het komt er dus op neer dat je alle cijfers met elkaar kunt verwisselen omdat de cijfers toch geen waarde aangeven.
wiskunde met sudoku Hier kan je zien hoe je van een Sudoku oplossing en compleet andere Sudoku oplossing maakt. Felgenhauer en Jarvis vonden het niet goed dat al deze oplossingen ook in hun gigantische cijfer verwerkt waren. Ze wilde het aantal essentieel verschillende sudoku’s uitrekenen. Als je een beetje nadenkt kom je zelf al een heel eind.

Eerst moet je het aantal mogelijke verwisselingen uitrekenen, dit lijkt lastig maar het valt reuze mee.
wiskunde met sudoku Op het eerste vraagteken mag je een getal uitkiezen van 1 tot en met 9. Voor het volgende vraagteken heb je een keuze van 8 verschillende getallen. Het derde vraagteken kan je nog maar zes verschillende getallen kiezen, enzovoorts.

Dit komt neer op volgende formule:
9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880

Nu we het aantal verwisselingen hebben, moeten we deze delen van het gigantische getal, de formule daarvan wordt dan: 6.670.903.752.021.072.936.960 / 362.880 = 18.383.222.420.692.992

Het volgende wat je moet doen om het aantal essentieel verschillende Sudoku’s uit te rekenen, is te kijken naar het draaien van Sudoku’s. Wie een sudoku een kwartslag draait, verandert rijen in kolommen en kolommen in rijen, en krijgt opnieuw een sudoku. Is dit een andere sudoku? Niet echt. Een Sudoku kan drie keer een kwartslag gedraaid worden en genereert zo drie ‘nieuwe’ Sudoku’s. Eigenlijk zijn telkens vier sudoku’s een en dezelfde. Zo blijft nog maar een kwart van het vorige aantal over: 4.595.805.605.173.248 stuks.

Wat voor draaien geldt, geldt ook voor spiegelen. Is een gespiegelde sudoku wezenlijk anders? Sommige mensen vinden van wel, andere menen dat het een compleet andere Sudoku is. Hier is wiskunde een kwestie van smaak.

Verder mogen sommige rijen en kolommen van plaats ruilen. Men kan bijvoorbeeld zonder problemen de kolommen 1, 2 en 3 met elkaar verwisselen. De nieuwe Sudoku voldoet immers aan de spelregels. Ook mag bijvoorbeeld het blok met de rijen 4, 5 en 6 verwisseld worden met het blok dat uit de rijen 7, 8 en 9 bestaat. Leveren zulke rij- en kolomverwisselingen weer een reeks Sudoku’s op die eigenlijk allemaal hetzelfde zijn? Dat is moeilijk te zeggen. Dat was dus ook een probleem voor Felgenhauer en Jarvis, zij besloten al deze varianten te rekenen tot één en dezelfde Sudoku oplossing.

Na lang zitten rekenen en formules opstellen, is het ze toch gelukt om het aantal essentieel verschillende Sudoku’s uit te rekenen. Dit aantal is nog geen 0,00000000008% van de eerder genoemde 6.670.903.752.021.072.936.960. Het aantal essentieel verschillende Sudoku’s is namelijk maar 5.472.730.538, en dat is zelfs een uitspreekbaar getal!

Puzzelmakers maken dankbaar gebruik van de wetenschap dat veel Sudoku’s eigenlijk hetzelfde zijn. Wanneer zij één sudokupuzzel hebben, kunnen zij vele nieuwe maken. Ze kunnen een rolverwisseling van de cijfers toepassen, de puzzel draaien of spiegelen, of bepaalde rijen en kolommen verwisselen. En de puzzelaar, die lost telkens weer dezelfde Sudoku op…

© 2006-2012, SudokuOplosser.nl  |  SudokuOplosser.nl is een onderdeel van Pewtech.